空飛ぶカボチャ

http://d.hatena.ne.jp/Rion778/

最初はちょっと記法覚えるまでのつもりだったけど、どう考えてもあっちのが楽だし、軽いし、というような状況なので、 もう当分はてなダイアリーばかり更新してると思います。

*お決まりの「作法」として"回帰係数の多重比較"というモノがあるわけではない，と思います．そのまま鵜呑みにしてえらい人に怒られても知りませんよ．

共分散分析

共分散分析を使うと，共変量でもって調整したうえで分散分析をすることができる．たとえば次のようなデータ．

放牧がその後の種子生産に与える影響を調べたデータで，それぞれ初期の根の直径と種子生産量によって散布図が描いてある(統計学:Rを用いた入門書より．データはココ)．

このとき，単純に種子生産量の平均値のみを2つの処理間で比べると，「放牧した方が種子生産量が多くなる」という結果が得られる．

しかし散布図から判断すると，それは放牧区に初期の個体サイズが大きなサンプルが集中していた結果のように見える．たとえば回帰直線を2本引いたら，明らかに放牧区の線は「下」にくるだろう．

それで，2本の回帰直線は違うのかとかそういうことをやるのが共分散分析．

これをやるにはそれぞれの回帰直線が平行という仮定が必要になる．要するにその回帰直線を平均値とし，回帰直線からの偏差を分散として分散分析をするんだから．

なので共分散分析は「平行性の検定(回帰の同質性の検定)」「要因効果の検定(共分散分析)」という2つのステップを踏む．

Rで

Rでは次のように行う．まず平行性の検定．

summary.aov(lm(Fruit~Root*Grazing))

ここでFruitは種子生産量，Rootは根の直径，Grazingはグループを表すベクトル．これにより次のような分散分析表が得られる．

             Df  Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)    
Root          1 16795.0 16795.0 359.9681 < 2.2e-16 ***
Grazing       1  5264.4  5264.4 112.8316 1.209e-12 ***
Root:Grazing  1     4.8     4.8   0.1031      0.75    
Residuals    36  1679.6    46.7                 

ここでRoot:Grazingとなっている部分は交互作用を表しており，ここが有意でなければ各回帰直線は平行であるということがいえる．この例ではp値が0.75なので問題ない．

共分散分析は次のように行う．

summary.lm(lm(Fruit~Root + Grazing))

モデル式の書き方がちょっと違う．これにより次のような結果が得られる．

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     -127.829      9.664  -13.23 1.35e-15 ***
Root              23.560      1.149   20.51  < 2e-16 ***
GrazingUngrazed   36.103      3.357   10.75 6.11e-13 ***

ここでGrazingUngrazedとなっている部分のEstimateが2つの回帰式がどれだけ離れているかを表しており，ここのp値が有意なら2つの回帰式は有意に離れている(つまり切片が有意に異なる)ということが言える．

(もうちょっと説明をしたいところだけど正直イメージがうまく描けてないのでパスです．青木先生のところなんかをよーく読んだら分かるかもしれません．僕は流し読んだのでわかりません＞＜)

回帰式の多重比較

共分散分析では平行性の検定を行う．で，ここで棄却されなければ次へ進める．

逆に言うと，平行性の検定が棄却されるということは切片はともかくとして2つの回帰式の傾きが有意に異なるということ．

というわけで，群が2つしかない場合にそれらの回帰式の傾きを比べる方法については解決だ．上に書いた方法で平行性を調べたらいい．また，「どこかに差がある」ということが分かればいいんだったらやっぱ同じ方法でいい．

でもやっぱ「どことどこに差があるの？」ってことが気になる．

というわけで，群の中から2つを選び総当たりで平行性の検定を行うことにしよう．そのとき問題になるのは検定の多重性というやつ．

Holmの方法による多重比較

たとえば群が3つあったら対比較は3回やらないといけない．危険率が5％として，すべての群が等しいのにどこかに差がある判定をしてしまう確率は1-0.95^3で0.14くらいになる(実際はちょっと違うらしいけど)．

それで，全体として有意水準5％で検定をしたいときに，対比較の回数に応じて1回1回の対比較における有意水準を低く調整してやることで何とかしようという多重比較法がある．ボンフェローニ(Bonferroni)の方法をはじめとする有意水準調整法というやつだ．

今回はホルム(Holm)の方法というやつにする．これはそれぞれの対比較で得られたp値を小さい順に並べて，i番目のp値に対する有意水準をα/(k-i+1)にするという方法．kは対比較の回数，αは全体としてそれ以下におさめたい有意水準．ボンフェローニの方法だとすべての有意水準をα/kに調整してしまうので過剰に保守的になってしまうけど，ホルムの方法ではもうちょっとゆるい感じになっている．ゆるいといっても全体としての有意水準はα以下に保たれる．

で，やることは決まった．対比較を繰り返して，Holmの方法で有意水準を調整するんだ．

Rで

関数にしてみました．

pairwise.covar <- function(
                           data.f,       #データフレーム
                           g.i=1,        #グループ変数の列
                           i.i=2,        #独立変数の列
                           d.i=3         #従属変数の列
                           )
{
  group <- data.f[[g.i]]                  #グループ変数
  g.name <- levels(group)               #水準名
  independent <- data.f[[i.i]]            #従属変数
  dependent <- data.f[[d.i]]              #独立変数
  g.n <- length(levels(group))          #グループ数
  k <- g.n*(g.n-1)/2                    #組み合わせパターン数
  pvals <- numeric(k)                   #p値用ベクトル
  cmb <- combn(g.name,2)                #全組み合わせ
  cmb.name <- character(k)              #組み合わせの名前（出力用）
  sign <- character(k)                  #アスタリスク用
  for(i in 1:k){
    pvals[i] <- round(anova(
                            lm(dependent[group==cmb[1,i] | group==cmb[2,i]]~
                               independent[group==cmb[1,i]|group==cmb[2,i]]*
                               group[group==cmb[1,i]|group==cmb[2,i]]
                               )
                            )$Pr[3],7)          #p値の計算と格納
    cmb.name[i] <- paste(cmb[1,i],":",cmb[2,i]) #組み合わせ名格納
    if(pvals[i] < 0.001){
      sign[i] <- "***"                  #0.1%以下は***
    }else if(pvals[i] < 0.01){
      sign[i] <- "**"                   #1%以下は**
    }else if(pvals[i] < 0.05){
      sign[i] <- "*"                    #5%以下は*
    }else if(pvals[i] < 0.1){
      sign[i] <- "."                    #10%以下は.
    }else{
      sign[i] <- " "                    #それ以外は" "
    }
  }
  o <- order(pvals)
  cbind(cmb.name[o],
        p.value=(pvals*(k-order(pvals)+1))[o],
        sign[o])                        #結果のベクトル
}

アスタリスクとか飾りだけどさ，ほら，見やすさのために…

使い方は

pairwise.covar(データフレーム, 
				グループ変数の列,
				独立変数の列,
				従属変数の列)

列の指定は省略可．デフォルトでそれぞれ1, 2, 3．

使ってみる．まずデータの作成．

## 仮データの作成
set.seed(5)
x <- 1:20
y1 <- x+rnorm(20)
y2 <- x*2+rnorm(20)
y3 <- x+10+rnorm(20)
group <- as.factor(rep(1:3, rep(20,3)))
independent <- rep(x, 3)
dependent <- c(y1, y2, y3)
mydata <- data.frame(group, independent, dependent)

xが独立変数，y1~3が従属変数．プロットするとこうなる．

凡例忘れた．．．○がy1，△がy2，＋がy3．

見て分かるようにy1とy3は切片が異なるけど傾きは同じ．y2だけ傾きが違う．

これに対してさっきのを使うと

> pairwise.covar(mydata)
             p.value         
[1,] "1 : 2" "0"        "***"
[2,] "2 : 3" "0"        "***"
[3,] "1 : 3" "0.639056" " "  

となる．ちゃんと計算できてる？

ちなみに有意水準を減らす代わりにp値を増やしているので場合によってはp値が1を超えるとかいうことになるかもしれない．あとp値が考えている有意水準より高いからって傾きが等しい＝平行というのにはちょっと無理があるかも．ボンフェローニよりマシとはいえホルムの方法も保守的なのには違いがないので．

;;YaTeX
(setq auto-mode-alist (cons (cons "\\.tex$" 'yatex-mode) auto-mode-alist))
(autoload 'yatex-mode "yatex" "Yet Another LaTeX mode" t)
;dvipdfmxをプリントコマンドに
(setq dviprint-command-format "dvipdfmx %s")

Meadowのインストール時にパッケージとしてYaTeXを選択していればこれを.emacsに書き足すだけでいいはず．

もちろん，LaTeX環境は別途準備してある前提で．

拡張子.texのファイルを読み込むとYaTeXが起動し，モードラインに「やてふ」と表示される．

ついでに[C-t l]をdvipdfmxに割り当てた．.dvi作成後に実行で.pdf作成．

なんか前回の設定で動くっちゃ動くんだけど起動時に

Searching for program:no such file or directory, anthy-agent

とか出てauto-autoloads.elなどの読み込みが止まる．止まってもなんか普通にESSとか動くんだけどIMEのON/OFFを切り替えるたびにミニバッファに上の警告が出てエラー音を発する(IMEのON/OFFはちゃんと切り替わる)．

害は今のとこないんだけどなんとかしたかったのでなんとかした．

anthyを切る

IME使うようにしてるのでそもそもいらない．

Meadowのauto-autoloads.elをいくつか止めて快適に - わだいのたけひこのにっき

\Meadow\packages\pkginfo\anthyにあるauto-autoloads.elをリネームして読み込まないようにした．

これでanthy-agantないよ！って怒られなくなった．[-Aあ-\--]とかも出るようになった．起動時に読み込むもの増えた．

でも今度は

error: Invalid value for :char-spec :indian-1-column

とか起動時に言われる．ぐぬぬ…

indian-1-columnをコメントアウト

Meadow起動時のエラー - 教えて!goo

ググってるときに教えて！gooの「一般人」の適当な回答が引っ掛かったときの怒りを表現する言葉が欲しい．

とにかく，indian-1-columnというcharsetがもうないので，読み込まないようにしろと，そういうことらしい．

それでどこに書いてあるんだ，font-setup.elとか検索してもないぞ．と思ったらauto-autload.elの中だった．

Windows Meadow 2.10 多言語環境の設定 - NOX INSOMNIAE

\Meadow\packages\pkginfo\intlfontsの中のauto-autoloads.elを開くと，中に

(indian-1-column ("ind1c16-mule.bdf"));; MuleIndian-1

という記述があるのでコメントアウト．てか消していい気がする．僕はチキンなので消さない．

起動が重くなった

真面目にいろいろ読み込むせいか起動が遅いぞ．いろいろ読み込まないようにしたらいいのだろうか．これから調べる．

*パッケージ減らしたらいくらか早くなった

Emacsのキーバインドを覚える手間を差し引いてもESSを導入する価値はあると思ったのでちょいとメモ．「Rはちょっとくらい使えるけど，Emacsとかよく分からない」というWindowsユーザー向け(というかそもそもMacやLinux使う人はEmacs使えるだろうしESSも自力でインストールできると思うので，RjpwikiのESSの項目なんかを参考にするといいと思います)．

ESSとは？

ESS (Emacs Speaks Statistics) は Emacs や XEmacs から R などの統計解析アプリケーションを便利に使ってしまおう，という Lisp プログラムです．

ESSがどれだけれ能率向上をもたらしてくれるものか，などは「The R Book」p.55--56に叙述されています．(Rjpwiki ESS)

要はEmacsという非常に高機能なテキストエディタがあって，その上でRを使うとき便利なようにいろいろカスタムするプログラムがESSということ．

何を覚える必要があるのか？

1. R
2. Emacs
3. ESS

3つだけ．簡単です．まずは準備を．（ただ最初に書きましたがRの使い方だけはどこかよそで予習しておきましょう．R自体はESSなくてもRguiで動くので．僕に聞くのはいろいろ間違いです＞＜）

R，Meadow，ESSのインストールと設定

.exeクリックで一発！とはいかないのでちょっとがんばる．

Rのインストール

最新版はここにあるはずなので，「Download R 2.8.1 for Windows」などというリンクから.exeを落としてきて実行すればインストールが開始される．

途中の選択肢はESSを使う上ではどう選んでも関係ないはずだけれど，インストールしたフォルダは忘れないように．

Meadowのインストール

Windows用のEmacs実装としてMeadowというものがある．今回はこれにESSを入れて使う．Meadowのページから「ダウンロード」というリンクを辿ると「Netinstall packages」というものが見つかるので，「setup-ja.exe」を落とす．

実行する前に，Cドライブ直下に「Meadow」などの名前でフォルダを作っておき，そこへsetup-ja.exeを移動．

setup-ja.exeを実行してインストール．

• ローカルパッケージディレクトリはC:\Meadow（作成したフォルダ．実行したフォルダへのパスが自動で入るはず）
• インストール先ディレクトリもC:\Meadow（同じく変更の必要はない）
• パッケージはデフォルトでいい気がする

最後にsetup.exeを実行する必要がある．実行すると「どこにある「.emacs」を読むようにする？」などと聞いてくる．画面には[C:\Meadow]などと出ているはず．何も入力せずにEnterを叩けばそこにある.emacsを読むようになる．書き換えてもいい．ただし場所は覚えておく．

これでインストールは終了．デスクトップにショートカットが出現し，それをダブルクリックでMeadowが起動するようになっているはず．

.emacsの作成

Meadowは起動時に.emacsというファイルに書き込まれた設定を読み込む．なのでこれを作らないといけないのだが，「新規作成→テキスト→名前を.emacsに」しても「ファイル名を入力して下さい！」と怒られる．

なのでMeadowから作成する．Emacsの操作が分からない人はまじないの如く以下の作業を行う．

1. Meadowを起動
2. Ctlr+X，Ctlr+Fと連続してタイプ
3. 一番下に「Find file: ~/bin/」と出る
4. 続けて，「Find file: ~/bin/.emacs」と入力してEnter
5. 次に，Ctlr+X，Ctlr+Wと連続してタイプ
6. C:\Meadow\binの中に.emacsというファイルができているはず

完成した.emacsをインストール時に設定した「.emacsを読む場所」に合わせて移動すれば終わり．もちろんわかる人は最初からそこへ作成すればいい．

作ってしまえばこっちのもので，あとはメモ帳で開けば編集できるし，保存もできる．Windowsは難しい．ともかく，Meadowの扱いがわからないうちはメモ帳で編集できるので安心．

ESSのインストール

ESSはたぶんここに最新版があると思う．DownloadからLatest Released Versionって所のzipを落としてきて解凍する．

解凍してできたフォルダをフォルダごと\Meadow\site-lispの中へ放り込む．

.emacsの編集

ESSを使えるようにするため，早速.emacsを編集する必要がある．なんかよくわからなかったらとりあえず次のように書いて保存．

(require 'ess-site)
(setq ess-ask-for-ess-directory nil)
(setq ess-pre-run-hook
	'((lambda ()
	(setq default-process-coding-system '(sjis . sjis))
	)))

(set-language-environment "Japanese")
(setq default-input-method "MW32-IME")
(mw32-ime-initialize)

(defun ess:format-window-1 ()
	(split-window-horizontally)
	(other-window 1)
	(split-window)
	(other-window 1))
(add-hook 'ess-pre-run-hook 'ess:format-window-1)

(setq default-frame-alist
      (append (list '(foreground-color . "azure3")
	'(background-color . "black")
	'(border-color . "black")
	'(mouse-color . "white")
	'(cursor-color . "white")
	)
	default-frame-alist))

（ここのをベースにちょこちょこいじってついでにIMEが動くようにしてあります．）

環境変数の設定

ここまで終わってもまだ動かない．環境変数というものを設定する必要がある．わかっている人はPathへRとMeadowの実行ファイルがあるフォルダ(bin)を，HomeへMeadow\binを追加．以下分からない人へ．

環境変数の設定は，

• XPの場合：コントロールパネル（クラシック表示）→システム→詳細設定タブ など
• Vistaの場合：コントロールパネル（クラシック表示）→システム→左側にある「システムの詳細設定」 など

で見つけられるはず．「ユーザー環境変数」と「システム環境変数」があるけど，ユーザー個人に設定を適用するか，コンピュータ全体に適用するか程度の違いなので以下好きな方へ設定．

1. 変数からPATH(or Path)を選択．なければ「新規」で変数名にPATHと入れる．
2. 変数値にC:\Meadow\bin (RunMW32.exeのあるフォルダ)を追加．新規に作成した場合はそのまま記入．すでに何か書いてある場合，末尾に「;」を記入したのちに続けて記入する．

同様にしてPATHへRの実行ファイルがあるディレクトリ(C:\Program Files\R\R-2.8.1\bin など)を追加し，HOMEへC:\Meadow\bin(.emacsのあるフォルダ)を追加．

確認

拡張子が.RなファイルをMeadowで開くとESSモードで起動．ツールバーに「R」とかのボタンが見えるはず．

M-x R (Alt+x rもしくはEsc x rと順番にキーを叩く)すると，画面が分割されて右下でRが起動．

.Rなファイルが表示されている場所(バッファ)にカーソルがある状態でC-c C-b (Ctrl+c Ctrl+bの順に叩く)すると中身がすべて実行される．結果はRのバッファなどに．

うまくいかなかったら…

どうしよう？よくわかりません＞＜

手順確認→Google先生に聞く　しても分からなかったら聞いてください．でもきっとわかりません．

使い方を覚える

RjpwikiにESSを取り扱ったページがあって， ショートカットなんかは一覧がある(ESSモード)ので参考に練習しましょう．

…

で終わらせたいところだけど，Windowsユーザーにとっての鬼門はMeadow(Emacs)の独特の操作や単語， ショートカットの表記法を覚えるところだと思う．一覧表とか見せられても量がすごいので「覚えられない！無理！」ということになる．

Emacsの操作方法を覚える

Meadow(Emacs)にはチュートリアルが入っている。

ツールバーの[Help]から[Emacs Tutorial]を選ぶとチュートリアルが始まる(ただのテキストだけど)ので， これをやる．

案外長くて丁寧にやると30分くらいかかるけど，覚えるべきことはカーソル操作，消去と挿入，ファイル操作程度なので， 実際それほど大変じゃない．

1回だけじゃ忘れるかもしれないけど，3回もやったら基本的な操作はほとんど覚えられるはず．

「こんな変な操作覚えて大丈夫か？」などという心配があるかもしれないが，大抵のものはMeadowで事足りる， というかMeadowの方が便利なことが多いし，他のエディタがEmacsのキーバインドをサポートしていることも多い(Visual C++とか)．なので心配せず慣れてしまっていいと思う．

ESSの扱いを覚える

操作自体はさっきも書いたRjpwikiのESSのページを参考に覚えたらいい． ショートカットの部分を拡大印刷して手元において置くとかして．

それよりも操作に慣れることが重要．ちょっと慣れると急激にありがたさが分かってくる．

これは実際にいくつかプログラムを書いてみるのが一番いい．

RでProject Eulerなんかいかがですか？

Rで図中に数式を書きたい場合はexpression()やpaste()なんかを使って頑張るんだけど、 これが結構複雑で面倒な上に出力が汚い。そこで、Rで数式を書くのはあきらめて、数式の部分だけ後でLaTeXの力を借りて書き直す、 という方法を採るときれいなグラフが得られる。

今回、手順としては「PS形式でグラフを作る」→「PSfragでテキストを数式に置換」→「LaTeXで処理」という形をとる。

まー結局はPSfragの使い方なのでRに限った話じゃなくてps/epsファイル全般の話になりますが。

それではお手元にRとLaTeXの環境を用意してご覧下さい。

1．PSfragを準備

まず、PSfragを入手しないといけないのだけど、何か僕の環境にはすでに入っていたのでTeXインストーラーなどを使ってLaTeX一式をまとめてインストールした場合に一緒にインストールされるものに含まれているのだと思う （便利ですねインストーラー！）。もしなかったらCTANなどを探して拾ってきてパスの通った場所に置く。 （この辺正直詳しいことがわからないので聞かないで下さい＞＜）

2．グラフの準備

グラフを準備する。先月作ったデルタ関数のグラフを使いまわそう。

アレは次のようにして描いた。

#余白設定
par(mar=c(3,3,3,1), mgp=c(2,1,0))
#関数定義
Delta <- function(a, x){
 a <- complex(imaginary=1/a)
 Im((pi*(x-a))^-1)
 }
#プロット
curve(Delta(7.5,x), -2, 2, ylim=c(0,10),
main=expression(lim(paste(Im, over(1, pi(x-ia))), a %->% 0)),
xlab="x",
ylab=expression(paste(delta, (x))),
col=1)
par(new=T)
curve(Delta(15,x),  -2, 2, ylim=c(0,10),main="",xlab="",ylab="",col=2)
par(new=T)
curve(Delta(30,x),  -2, 2, ylim=c(0,10),main="",xlab="",ylab="",col=3)
#凡例
legend(
0.5, 10,
box.lty=0,
legend=c(
expression(paste(a=7.5^-1)),
expression(paste(a=15^-1)),
expression(paste(a=30^-1))
),
col=1:3,
lty=c(1,1,1)
)

こんなのが描ける。

…やっぱ数式が汚い。

で、せっかく頑張って作ったこのグラフは使えない。PSfragはPSファイル中のテキストを認識して置換するので、 次のようにしてタイトルや軸ラベルをテキストにしたグラフを作らないといけない。

#プロット
curve(Delta(7.5,x), -2, 2, ylim=c(0,10),
main="main.title",
xlab="xlab",
ylab="ylab",
col=1)
par(new=T)
curve(Delta(15,x),  -2, 2, ylim=c(0,10),main="",xlab="",ylab="",col=2)
par(new=T)
curve(Delta(30,x),  -2, 2, ylim=c(0,10),main="",xlab="",ylab="",col=3)
#凡例
legend(
0.5, 10,
box.lty=0,
legend=c(
"l1",
"l2",
"l3"
),
col=1:3,
lty=c(1,1,1)
)

次のようなグラフが得られる。

ただこれはpng。PSfragが処理できるのはps/epsファイル。 なのでたとえばデバイスをpostscriptにするとか、Windowsのデフォルトのグラフィックデバイスから 「ファイル」→ 「別名で保存」→「postscript」するなどしてepsとして保存しておく。

他に注意として、置換は文字の先頭位置を基準に行われる。なのでたとえばタイトル部分を省略して「t」一文字などにしておくと、 そこを基点に数式が挿入されるのでちょっと右よりになってしまう。

3．LaTeXで処理

パッケージとして呼び出すのはpsfragのほかにgraphicxも必要。psファイルを描く必要があるので。

psfragの使い方は

\psfrag{置換前テキスト}{置換後テキスト}

とこれだけ（オプションも指定できるけど省略）。このコマンドでテキストを置換した後、 psファイルを呼び出してやると置換後の状態で描画される。 置換後のテキスト部分には$$などを用いてLaTeXでいつもやるように数式が書ける。

なので、今の例で行くと次のようなファイルを作る。ここではtexファイルと同じディレクトリに「delta.eps」 という名前で先ほどのpsファイルが保存してある。

\documentclass{jsarticle}
\usepackage[dvips]{graphicx,psfrag}  %パッケージ:graphicx,psfrag
\begin{document}
 \psfrag{main.title}{
$\displaystyle \lim_{a\rightarrow0} \Im \frac{1}{\pi(x-ia)}$
}                                  %テキストの置換
 \psfrag{xlab}{$x$軸}
 \psfrag{ylab}{$\delta (x)$}
 \psfrag{l1}{$7.5^{-1}$}
 \psfrag{l2}{$15^{-1}$}
 \psfrag{l3}{$30^{-1}$}
 \includegraphics[scale=1]{delta}    %epsファイルの呼び出し
\end{document}

で、これをTeXで処理する。dviファイルの段階ではまだ置換は行われず、psファイルまで変換して初めて置換が行われるのに注意。

で、psファイルまで変換が終わると次の出力が得られるはず。

今15分くらいでパパっと作ったので若干フォントのサイズや種類のバランスが悪いけど、とりあえず置換はできた。簡単！

Rの出力に比べてずいぶんきれいだし、あと数式部分のソースも読みやすく書きやすいと思う。 LaTeXだとドイツ文字のIとか使えていかにもそれっぽいね！

A⊆Qについて，

1. すべてのx∈Aにたいしてx≦a
2. すべてのx∈Aにたいしてx≦u ならばa≦u

というようなaは，uをxにいくらでも近づけることができるために，x≦aというようなaの中で最小のもの， Aのすべてを抑えるぎりぎりのものとなる．このとき，これを∪Aと書く．上からギュッと押えるイメージ．これをAの上限と呼ぶ．

先の1.，2.において不等号を逆にしたもの，つまりAを下から押えるぎりぎりのものを∩Aと書き，Aの下限と呼ぶ．

特にQの場合は上限をsupA， 下限をinfAなどとも書く．

上限，下限は必ずしも存在するとは限らない．上限・下限が存在しない例として次のようなものが挙げられる．

• ∪Q　　…　　有理数全体を「抑える」 ことはできない
• ∪φ　　…　　抑える対象が存在しない
• A={x∈Q|x2≦2}    …　　√2は有理数の中に存在していない(Aの中と外の間には途切れ，gapが存在している)

また，P(E)の場合， A∈P(E)という部分集合の集まりについて∪Aは全てのX∈Aを含むもの， つまり合併集合となる． そして∩Aというのは全てのX∈Aに含まれるもの， つまり共通集合となる．また、 Eの部分集合をひとつも取らないΦ⊆P(E)については普通次のようにする．

• ∪Φ=φ
• ∩Φ=E

これは最初の1.，2.に当てはめてみると，1.についてはそもそも判断すべきXが存在しないので自動的に満たされ、 2.についてはUというのが任意のU∈P(E)になるため、「任意のUに含まれるX=φ」 「任意のUを含むX＝E」というようなことになる。ただ、なじめなかったら定義と思ってしまってもいいそうだ。

また，Q，P(E)について次の性質が挙げられる．

• ∪{x|x<a} = a
• ∪{x|x>a} = a

ただし，自然数の集合Nでは次のようになって成立しない．

• ∪{x∈N|x<n+1} = n

関数 f:Λ → Q について， たとえば∪f(Λ)，∩f(Λ)というようなものを表したいとき，次のような書き方が使われる．

一般のxnについては同様に次の記法が使われる．

（ちなみにLaTeXで∪のでかいやつを描くコマンドが\bigcupだと調べるのにちょっと苦労した． 考えたらわかりそうな気もしたけど．）

また，A⊆QについてAをQに埋め込む単射 i:A → Qではxとi(x)を同一視して次のような書き方がされる．

また，増大列(x0 ≦ x1 ≦ x2...)について，

と

は同値である．

なぜなら，b<a<cについて，n≧Nならb≦xn≦cとなるようなNがとれる．いま考えているのは増大列なので， xn≦cはすべてのnで成立する．そこでcの下限を考えると， xn≦aとなる．

----

まだ大丈夫だけどこれは他の本(高木貞二の解析概論とか．ほんの1mmくらいかじっただけだけど．)で見たからだな． どうもやっぱある程度高等な予備知識を要求されている気がする．

このままだとすぐ付いていけなくなりそうなのでなんか別にもう一冊くらい探さないと．などと思って集合・ 位相入門 を頼んだ．ちょっと頑張ろう。

教科書

• 森 毅　『位相のこころ』 (ちくま学芸文庫)

有理数全体： Q
空間Eの部分集合全体： P(E)

順序構造を考える対象

（O1） x ≦ x

（O2） x ≦ y,　y ≦ z　なら　x ≦ z

というような「公理」が成立するもの。Qでいうところの大小関係、 P(E)でいうところの包含関係（≦の代わりに⊆を使うアレ）など。

・「公理」を満たす極端な例

x ≦ y なら x ＝ y　… 　自分以外と比較できない。比較ができるってことは、そいつが自分っていうこと。 離散順序とでも呼ぼう。

任意のx, yで x ≦ y　…　どいつとでも比較していいけど、 どっちがでかい（あるいは同じ）ことにしてもいい。 混沌順序とでも呼ぼう。

こういう変なのは避けたい…

（O1）、（O2）だけでは不十分（擬順序という）。「順序」 というときは次を加える。

（O3) x ≦ y, y ≦ x　なら　x = y

比較のときにxとyを入れ替えてもいいなら、そいつは「同じ」なんだ、という縛りを入れてやる。 別のもの同士を比較するときは入れ替えちゃだめというわけで、混沌順序を避けられる。

また、昔はこれも加えていた

(TO) 任意の x, y は　x ≦ y　または　y ≦ x

けどこれはなくてもいい。 あるとQは大丈夫だけどP(E)とかが順序の仲間に入れない （二つの有理数はいつでも大小関係を定義できるけど、集合XとYはいつも包含関係にあるとは限らない）。 これを満たすものは全順序と呼んでもうちょっとイイモノだとしておく。

次に離散順序を避けるには…

(DO) 任意の x, y について u ≦ x, y ≦v となる u, v が存在する。

集合から適当に2つの元をとってきたとき、 その両方より小さいuとその両方より大きいvが存在するということ。 xとyが別物だったとき、 その両方と比較できるu, vが存在するということだから、 離散順序みたいに比較できる集まりがポツポツと飛んでいるものは避けられるという仕組み（と思う）。

これは有向順序という。Qみたいな全順序はもちろん有向順序。 P(E)もその元Xについてφ⊆X⊆E（少なくとも空集合は含むし、空間には含まれる） なのでやっぱり有向順序。

ついでにもうちょっと厳しくする。

（LO) 任意の x, y について

a ≦ x, y ≦ b

u ≦ x, y ≦ v　なら　u ≦ a ≦ b ≦ v

となる a, b が存在する。

a, b は次のように書く。

a = x ∩ y

b = x ∪ y

具体的に言うと、

aはxとyの両方より小さい、または両方に含まれる、 といったようなもののなかで一番デカイやつ

bはxとyの両方より大きい、または両方を含む、 といったようなもののなかで一番ちっこいやつ

aは下から押さえる感じ（だから、「デカイやつ」とか言っても実態は普通小さい。小さい中で一番デカイ）。bは上から押さえる感じ （同じく「ちっこい」といっても実態はでかい）。こういうものを束順序という （ちなみにこの束(laticce)はファイバー束とかの「束(bundle)」とは違う。違う概念に同じ名前。ややこしい！）。

ただの言い直しだけど、

Qの中の話だったらaはxとyのうちで小さいほう、bは大きいほうのこと。

P(E)の中の話だったらaは集合XとYの共通集合（共通部分）、bは合併集合（和集合）。

…というように、「順序」 と一言に言っても向きもへったくれもないものや自分と違うものとは比較を拒むようなものからいろんな段階のものが考えられるんだけど、 適当にx, ｙと2個持ってきたときに、 それらをまとめて押さえられる何かを定義できるようにしておくと便利ですよと、そんな話（だろうと思う） 。それらをまとめて押さえられる何かを定義するのは次のパートですね。

----

位相とか集合とか一度ちゃんとやらないと、とか張り切って読み始めた。

…

1時間で3ページしか進んでないとかどういうことなの…。

a ≦ x, y ≦ b　とか書いてあるときに「a ≦ x」, 「y ≦ b」と勘違いしてて30分くらいロス。 xとyまとめてるだけなのに。x ≦ y,　y ≦ zと定規でもって比べたら、a ≦ x, y ≦ bの方はカンマの後のスペースが0.5ミリくらい短かったよ！

本の最初のほうはその人の記号の使い方とか説明の仕方とかに慣れてないからどうでもいいとこで躓いてしまう。 この辺の話だって他の本で見たはずの内容だけどあらためて丁寧に追ってみると今みたいなつまらない躓きが…。 まあでも慣れたからペース上がるはず。きっと。おそらく。多分…。

ところで（TO）とか（LO）とかいう書き方は何なんだろう。人名とかの略かな？

教科書

• 森 毅　『位相のこころ』 (ちくま学芸文庫)