2008年12月31日

GW-US54GXSをアクセスポイントとして使うための設定

5月くらいに買って徹夜で設定を頑張った挙句使えなかった無線LANアダプタのGW-US54GXS が今更になって使えるようになった.アクセスポイントとして.もうなんかイロイロやったので何をどうやったかあまり覚えてないけど一応メモ.

環境

  • ホスト側PC:Windows XP(SP3)
  • クライアント側PC:Windows Vista
  • プロバイダ:Sannet(PPPOE接続)

手順

  1. ユーティリティ・ドライバを公式サイトからダウンロードしてきてインストール
  2. セキュリティなどの設定はマニュアルどおりに済ませておく
  3. XP側(ホスト)の設定.
    • ネットワーク接続→広域帯→「使ってる接続」→プロパティ→詳細設定→インターネット接続の共有→「ネットワークのほかの〜」をチェック→OK
  4. Vista側(クライアント)の設定.
    1. アクセスポイントの検索→2.で設定したネットワークへ接続
    2. コントロールパネル→ネットワークと共有センター→接続の表示
    3. ワイヤレスネットワーク接続のプロパティ→インターネットプロトコルバージョン4(TCP/IPv4)のプロパティ
      • IP: 192.168.0.10
      • サブネットマスク: 255.255.255.0
      • デフォルトゲートウェイ: 192.168.0.1
      • 優先DNSサーバー:  192.168.0.1

…しかし何で動いてんだ?セキュリティとか問題ないのか?

ともかくこれでようやくiPod touchを買う準備が整った!PSPでもDSでもないぞ.iPod touchのために買ったんだから.7ヶ月も放置してたけど.

問題は金が無いってことね.

posted by Rion778 at 16:07 | Comment(0) | TrackBack(0) | PC関連。HTMLとか,Linuxとか,Rとか | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
2008年12月28日

周期関数と、それの微分の内積

1.フーリエ級数展開

周期関数f(x)がディリクレの条件というゆるーい条件(現実の世界にあらわれるほとんどの関数はこの条件を満たす) を満たしているなら、 その周期関数の整数倍の周波数を持ったsine波とcosine波を足し合わせることによってf(x)をあらわすことができる。

簡単のために周期を2πとすると、

20071224eq9

もしも周期が2πでない場合には、[2π/周期]を掛けることで周期を2πになおすので、基本的にはこれと変わらない。 この展開をフーリエ級数展開と呼ぶ。ちょうど一年くらい前に勉強したので詳しくはそっちの記事で。

2.関数の直交

周期関数は内積を積分によって表現する。2つの周期関数、f(x)とg(x)があったとして、 これらの内積は両者の積を一周期分積分することで求められる。

081228eq1

もしもこの積分の値が0だったとき、2つの関数は直交している、と表現する。直交する周期関数の組み合わせとしては、 たとえばsin(x)とcos(x)、sin(x)とsin(2x)などが挙げられる。

3.関数と、それを微分したものの内積

ここで問題を。

周期関数f(x)と、それを微分したf'(x)は直交している。

これは正しいだろうか?

直感的には正しいと思える。sineとcosineは符号程度の違いをのぞいて微分によって互いに入れ替わる、 つまり直交する状態になるんだから。

まず、f'(x)をキチンと書こう。f(x)としては最初に書いたこれ

20071224eq9

を使う。これの微分は別に難しいことはない。項別に微分すればいい。

081228eq2

そうして内積を考えるのだが、f(x)×f'(x)に含まれる項の組み合わせを真面目に考えるのは厳しい。

まず、f'(x)の積分について考えると、これは[a0/2]という項を含まないので、 平均値は0であり一周期分の積分は明らかに0となる。これを定数倍してもやはり0なので、 まずf(x)の[a0/2]は無視していいことがわかる。

次に、級数部分どうしの積の部分を考える。この積の結果無限個のsin×sin、cos×cos、sin×cosが生ずるわけだが、 その中で一周期分の積分をしても値が0にならない組み合わせは限られる。要するに互いに直交していないものだけが残るわけだが、 具体的にはsin×sin、cos×cosのうちで周波数の等しいものだけ、ということになる。

で、その様なものだけを残した形で内積の計算結果を書いてみる。

081228eq3

うまいこと打ち消しあって見事に0になった。

というわけで、周期関数f(x)と、それを微分したf'(x)は直交している。

3.部分積分

ところで、今のやりかたはとても分かり難い。ちゃんと書きながら読まないと自分でも分からなくなりかねない。 実はこれは部分積分を使うと簡単に解けてしまう。

まず、部分積分が何か、ということの詳細はググってもらうとして、結論だけ書くと次のような積分手法のこと。

081228eq4

積の微分公式をちょいちょいといじって積分しただけのものだが、先の問題にそのまんま当てはめられることが分かるだろう。 当てはめてみると、

081228eq5

なんとまあ簡単な。必要なのはf(0)=f(2π)という条件だけ。周期関数なので始点が不連続点とかじゃない限りこの条件は大丈夫。

なんかちょっと今まで使いどころがさっぱり分からなかったけど部分積分って便利!

---

実のところ考えていたのはf(x)f(x)f'(x)みたいな3つの関数の積の一周期分の積分で、 これが0になってくれないと研究の都合上大変困ることになるところだった。

これを2.でやったように力ずくで解こうとしていた。そうすると、三角関数3つの積がどういう条件で0になるのか、 ならないのかを全部書いて、それらがちゃんと打ち消しあうのかを確かめないといけないわけなんだけど、しかし肝心の 「0にならない組み合わせ」がざっと無限の無限乗個ほど出てきてもうこりゃだめだと半ばあきらめていた。

で、いいわけとごまかし方を半日くらいかけて考えていたときにふと部分積分を思い出したんだ。 まあ半日くらいつっても最近ひどくぼんやりしている時間が多いので実質2時間くらいなんだろうけど。まあとにかく、 今まで単なる呪文だった部分積分の公式の意味と使いどころがようやく分かってきた。

なんというか、練習問題をたくさんこなす、といったような作業が足りないんじゃないか。

知っていても、慣れていないものは使えない。

posted by Rion778 at 04:23 | Comment(0) | TrackBack(0) | 勉強ノート | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
2008年12月17日

合成関数の微分

yという値をfという変換規則でzという値に変換できたとする。

081217eq1

このとき、このyという値はfとは別のgという変換規則によってxから変換されるものとする。

081217eq2

このとき、xの増分に対するzの増分の比率を考えよう。つまり、関数f(y)をxにより微分する。まず、

凛 = f(y+凉) - f(y)

このとき、

凉 = g(x+凅) - g(x)

なので、凅→0のとき凉もまた→0となる。このことから、

081217eq3

上のようにライプニッツの記法で記述するとそれぞれの変数がdyによって鎖のようにつながって見えることから、 この微分規則を連鎖律(chain rule)と呼ぶ。

別の記法と別の表現で今一度説明しよう。上の式をxという変数を強調する形でラグランジュ流に書き直すと、

081217eq4

これは、まずf(y)という関数を微分し、f'(y)という形(ここでは中身に手をつけない)を得た後、g(x)という関数を微分し、 両者を掛け合わせるという作業を表現している。つまり「全体の微分=外側の微分×内側の微分」。

たとえばこれはe^axやsin(ax)、cos(ax)といった関数を微分すると微分するたびに定数aが前に出てくる(様に見える) ことの理由になっている。

とか言いつつこの事実にさっき(というか12時間くらい前に)気づいた。もうそれから合成関数微分しまくりですよ。

しかし合成関数の微分もe^axの微分も2年ほど前から知っていたのに(成人するまで知らなかったのもアレっちゃアレだが)、 両者が同じものだと今の今まで気づかなかった。

で、さも以前から知ってるような風でもって人に説明しつつ、内心の衝撃を抑えるなどしていた。

要するに合成関数の微分とその具体例をそれぞれ別個に単純に丸暗記していたということなんだろうけど、 もはや今となってはなぜ理解できていなかったのかほとんど思い出せない。ただ、「合成関数」と「定数倍された変数」 が同一のものだという発想だけが欠けていて、思いつけなくて、見つけられなかった。ボケていたとしか言いようがないが、 しかしe^axを微分するたびになんでaが前に出てくるのかと丸一日以上考えて、調べて、結局放り投げたという記憶がある。 そのときは本当に分からなくて、これが理解できるようなヤツは頭がおかしいんだと思ってあきらめた。

「バカだった」とか「努力が足りなかった」「注意が足りなかった」というような言葉で片付けるのは簡単だけど、 勉強しても努力しても集中してもわからなかった問題が1年以上の間をおいて急に分かってしまった。 そして分からなかった時のことを忘れかけている。

「何かが理解できない」ということの理由は能力とか、努力とか、そういうものとは別のもっと些細で、 しかし重要なものが理由ではないか。今回だってもしもどこかのタイミングで「e^axは合成関数」 という情報に接触する機会があれば問題はその瞬間に解決できていたはずであって、後から見れば、あるいは他人から見れば 「そんなの考えればわかるだろ!」 という程度のことに気づけないために理解が完全に妨げられるということはしばしば起こっているのではないだろうか。

何か知識を得てしまうことで知識がなかったときのことが分からなくなってしまうことは知識の呪縛(Curse of Knowledge)という。自分が知っていることは他人も、あるいは大勢の人が知っているはずだ、という思い込み。 人をバカにするような感情はこの辺が原因ではないかと思うので日ごろ気をつけている。常識なんてのは多くが偶然によって得られるもので、 無知は罪ではない。

合成関数の微分の使い方にさっき気づいたとか赤っ恥もいいとこだが、知識の呪縛にとらわれて、かすかに残った「分からなかった理由」 を失うのはもっと深刻ではないかと思ったので書いてしまった。

posted by Rion778 at 23:44 | Comment(2) | TrackBack(0) | diary | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
2008年12月09日

定数変化法による微分方程式の解き方

今から思うとバカみたいなところでつまづいて2日ほど無駄にした。ていうかバカ。きっと独学なのがいけない。数学を独学とか無理なレベルの頭なのではないか。誰か一緒に勉強して欲しい。

とりあえず戒めのためにバカ丁寧に定数変化法をメモる。

まず、定数変化法というのは何かと言うと、次のような形の微分方程式を解く(つまりx=...の形に変形する)ための方法だ。

もちろん左辺の微分されているxも取り出す必要があるので、積分やら何やら面倒な操作が必要になる。

まず何をするか。

g(t)=0と置いて解いてしまうという暴挙に出る。

ちょっと順番に説明を。

  • (1) g(t)=0とおいた
  • (2) xに関する項を左辺に、tに関する項を右辺に集めた(変数分離という)
  • (3) 両辺を積分
  • (4) 左辺: 普通に。 右辺: f(t)は不明なのでそのまま&積分定数(左辺のもまとめてある)
  • (5) 対数をとっぱらう(両辺をeの指数部にすることでlnが取れる)
  • (6) 指数部の和は積の形に書きなおせる
  • (7) e^cというのは定数^定数なのでやっぱり定数。改めてこれをCと書く。

ここで式(2)のときに変数分離という作業を行った。ゆえにこの微分方程式の解法は変数分離法と呼ばれる。要するに(1)の形の式ならこう解けばよいのです。が、今解きたいのはこれではない。

次に何をするか。式(7)の積分定数Cが、実は定数ではなくtの関数だったとみなすという暴挙にでる。そしてその仮定の下に式(7)を最初のコレ

に代入する。ここで左辺第二項のxへはそのまま代入できる。しかし、第一項はtによって微分されているため、まずdx/dtを計算する。

  • (8) xをちゃんと書いた
  • (9) 積の微分法( (fg)' = f'g + fg' )を適用

(9)の右辺が面倒。ここで微分されているのは合成関数で、例えばzという変数を導入して説明すると、e^zという関数とz=-∫f(t)dtという関数がくっついているということになる。とりあえずここだけ計算する。

合成関数の微分は「[全体の微分]=[外側の微分]×[内側の微分]」という形で実行できる。ここで「外側」は指数関数e^zなので微分してもそのまま。「内側」は積分された形なので積分記号を外すだけでいい。つまり、e^z×-f(t)。そして先ほどの式に戻れば、

そしてこの式(11)(=dx/dt)と先ほど得られた式(7)(=x)をコレ

に代入し、Cについて解く。

  • (12) 代入した(一部相殺される)。
  • (13)(14) 変数分離
  • (15) 積分。ここで左辺のCは途中で仮定したとおりtの関数だが、右辺に追加したC’は今の積分実行で生じた定数であることに注意。

そして得られた式(15)を式(7)に代入すれば完成。

しかしこの完成した複雑な「公式」を使って計算するのは見るからに大変っぽい。重要なのは結果よりも手順だ。

  1. 右辺を0として解を求める(つまり特殊解を決定する)
  2. 解に含まれる積分定数Cを「関数」とみなす
  3. 求められた解を元の式に代入してCについて解く
  4. これを利用し、一般解を決定する

覚えるのはこっち。

ただ微積分の基礎に馴染んで無いとつまづいてしまうのかも知れない。

ちなみにつまづいてたのは式(7)を代入するあたり。積の微分やら合成関数の微分やらを思い出したり気づいたりするのに大変時間がかかった。応用力と記憶力に難が…

ところで「特殊解の積分定数を関数とみなして一般解を求める」なんて無茶をしているようにしか見えないんだけど、どうしてちゃんと答えが出せると言えるんだろう。

posted by Rion778 at 19:56 | Comment(1) | TrackBack(0) | PC関連。HTMLとか,Linuxとか,Rとか | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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