2008年11月17日

微分方程式とロジスティック式(2)

前回に引き続いてネズミの問題。 もう一回引用すると、

代数と三角関数は知っていたので、どんな数学の問題が出てきても解ける自信があった。 でもシュワブ先生は次のような問題を出してぼくをへこませようとしたんだ。あれから五〇年たった今でも、はっきりと思い出せる。 ネズミがネズミの人口に比例して死ぬとしたら、ネズミの人口はどれくらいかを求める問題だった。
ポール・ ホフマン「放浪の天才数学者エルデシュ」  p.164)

「ネズミがネズミの人口に比例して死ぬ」という一文の意味はよく考えないといけない。まず、

  • ネズミはネズミの人口に比例して増える

ということは書いてないがまあ当たり前だろうということで考慮する。

で、次に「人口に比例して死ぬ」というのをバカ正直に捕らえると前回解いた微分方程式と大差ない問題になる。 次のように解釈すれば問題が面白くなるし、より現実的でもある。

  • ネズミが死ぬ割合はネズミの人口に比例して増える

こう言ってもいい。「ネズミの増殖スピードはネズミの個体数によってブレーキがかけられる」

これを数式で表現すると次のようになる。

081117eq1

前回と同じくxは個体数、tは経過時間、そして増加速度にかかわる比例定数aに対し、xに比例したブレーキがかかる。

これを変数分離によって解こう。

まずは変数の分離。

081117eq2

左辺はそのままだと積分しにくいので、部分分数分解という作業をする。何をするのかというと、 分母が積の形になっていることを利用して、左辺の分数を和の形に変形する。 (この場合はちょっと試行錯誤したほうが楽な気もするけど手順もあるので気になる人は「部分分数」などのキーワードで検索を。)

081117eq3

もうちょい整理して積分。左辺は和の形なので項別の積分ということになる。

081117eq4

ちょっと難しいのは左辺第一項だろう。ほかは前回と同じなので。

∫f'(x)/f(x) dx = ln |f(x)| という式を知っていれば (1/xの積分と置換積分という方法を組み合わせれば簡単に証明できるので、気になって気持ち悪いという人は「1/x」「置換積分」 などのキーワードで検索を)、これは次のように計算できる。

081117eq5

ここで、変域が負の数に及んでしまうことに目をつぶれば絶対値記号を括弧に変えてしまえる。…あれ?いいんだろうか。

とにかく、そんな感じで積分を計算してしまうと、

081117eq6

対数の差は真数の商なので

081117eq7

で、対数を外す(x=a/bは定義できない…?結果から見ると定義できなくても問題ないけど)。Cの中身はちょいと変わる。

081117eq8

ここまで来たらあとは簡単な変形なのでちょっと省略して、

081117eq9

t=0でx=x0として求め たCを代入すると、

081117eq10

というわけで問題が解けた。

ここで解いた微分方程式はロジスティック式と呼ばれ、個体群増加のモデルなどに用いられる。

ロジスティック式は初期値がa/bよりも小さいときにロジスティック曲線と呼ばれる特徴的な曲線を描く。ためしにRで描いてみよう。

logistic <- function(t){
 a <- 1.5 #増加率
 b <- 0.3 #抑制力
 x0 <- 2 #初期個体数
 1/(b/a - (b/a - 1/x0)*exp(-a*t))
 }
curve(logistic, -5, 5, xlab="Time", ylab="logistic(Time)")
grid()

logistic

個体数は0よりも小さい値にはならず、またa/bよりも大きい値にはならない(a/bより大きな値を初期値に与えた場合は…)。 a/bは環境収容力といわれる。

うーん…

答えは間違ってないはずだけどどうも気になる点が。対数の変域が負に行くのはどう説明したらいいんだ?

それに気晴らしのために考えてたのに別に晴れてないしどうしたもんか。

posted by Rion778 at 02:26 | Comment(0) | TrackBack(0) | 勉強ノート | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス: [必須入力]

ホームページアドレス: [必須入力]

コメント: [必須入力]

認証コード: [必須入力]


※画像の中の文字を半角で入力してください。
この記事へのトラックバックURL(言及がない、関連がないと判断した場合削除することがあります)
http://blog.seesaa.jp/tb/109776305
※言及リンクのないトラックバックは受信されません。

この記事へのトラックバック
×

この広告は1年以上新しい記事の投稿がないブログに表示されております。