2008年12月09日

定数変化法による微分方程式の解き方

今から思うとバカみたいなところでつまづいて2日ほど無駄にした。ていうかバカ。きっと独学なのがいけない。数学を独学とか無理なレベルの頭なのではないか。誰か一緒に勉強して欲しい。

とりあえず戒めのためにバカ丁寧に定数変化法をメモる。

まず、定数変化法というのは何かと言うと、次のような形の微分方程式を解く(つまりx=...の形に変形する)ための方法だ。

もちろん左辺の微分されているxも取り出す必要があるので、積分やら何やら面倒な操作が必要になる。

まず何をするか。

g(t)=0と置いて解いてしまうという暴挙に出る。

ちょっと順番に説明を。

  • (1) g(t)=0とおいた
  • (2) xに関する項を左辺に、tに関する項を右辺に集めた(変数分離という)
  • (3) 両辺を積分
  • (4) 左辺: 普通に。 右辺: f(t)は不明なのでそのまま&積分定数(左辺のもまとめてある)
  • (5) 対数をとっぱらう(両辺をeの指数部にすることでlnが取れる)
  • (6) 指数部の和は積の形に書きなおせる
  • (7) e^cというのは定数^定数なのでやっぱり定数。改めてこれをCと書く。

ここで式(2)のときに変数分離という作業を行った。ゆえにこの微分方程式の解法は変数分離法と呼ばれる。要するに(1)の形の式ならこう解けばよいのです。が、今解きたいのはこれではない。

次に何をするか。式(7)の積分定数Cが、実は定数ではなくtの関数だったとみなすという暴挙にでる。そしてその仮定の下に式(7)を最初のコレ

に代入する。ここで左辺第二項のxへはそのまま代入できる。しかし、第一項はtによって微分されているため、まずdx/dtを計算する。

  • (8) xをちゃんと書いた
  • (9) 積の微分法( (fg)' = f'g + fg' )を適用

(9)の右辺が面倒。ここで微分されているのは合成関数で、例えばzという変数を導入して説明すると、e^zという関数とz=-∫f(t)dtという関数がくっついているということになる。とりあえずここだけ計算する。

合成関数の微分は「[全体の微分]=[外側の微分]×[内側の微分]」という形で実行できる。ここで「外側」は指数関数e^zなので微分してもそのまま。「内側」は積分された形なので積分記号を外すだけでいい。つまり、e^z×-f(t)。そして先ほどの式に戻れば、

そしてこの式(11)(=dx/dt)と先ほど得られた式(7)(=x)をコレ

に代入し、Cについて解く。

  • (12) 代入した(一部相殺される)。
  • (13)(14) 変数分離
  • (15) 積分。ここで左辺のCは途中で仮定したとおりtの関数だが、右辺に追加したC’は今の積分実行で生じた定数であることに注意。

そして得られた式(15)を式(7)に代入すれば完成。

しかしこの完成した複雑な「公式」を使って計算するのは見るからに大変っぽい。重要なのは結果よりも手順だ。

  1. 右辺を0として解を求める(つまり特殊解を決定する)
  2. 解に含まれる積分定数Cを「関数」とみなす
  3. 求められた解を元の式に代入してCについて解く
  4. これを利用し、一般解を決定する

覚えるのはこっち。

ただ微積分の基礎に馴染んで無いとつまづいてしまうのかも知れない。

ちなみにつまづいてたのは式(7)を代入するあたり。積の微分やら合成関数の微分やらを思い出したり気づいたりするのに大変時間がかかった。応用力と記憶力に難が…

ところで「特殊解の積分定数を関数とみなして一般解を求める」なんて無茶をしているようにしか見えないんだけど、どうしてちゃんと答えが出せると言えるんだろう。

posted by Rion778 at 19:56 | Comment(1) | TrackBack(0) | PC関連。HTMLとか,Linuxとか,Rとか | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
>ところで「特殊解の積分定数を関数とみなして一般解を求める」なんて無茶をしているようにしか見えないんだけど、どうしてちゃんと答えが出せると言えるんだろう。

1階で考えればわかりやすいけど
基本解が0と恒等でないから
定数から変化させた関数の部分が
1/基本解 を含んでるかも知れなくて
そう考えれば定数変化法っていうのは
ただ答えをx(t)とおくところを
x(t)y(t)/y(t)とおいてみたらうまくいったってだけ
Posted by pon at 2011年10月23日 19:35
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