2009年02月09日

変分法 -デカルト座標における2点の最短経路を求める練習問題

前回変分法という方法をつかってオイラー方程式を求めた.

これを使って実際に問題を解いてみる.前回の冒頭の問題はこれ.

  >原点O(0,0)を出発し、点P(x, y)に至る最短の経路は何だろう。

x, yだと後々わかりにくくなるので,点Pは今回(a, b)とする.

最短の経路というのは,次の積分Iを最小とするようなものだった.

とりあえずこのままだと解けないので積分変数をxにする.xにするにはまずdsをdy, dxの関係から次のように変形する.おなじみ三平方の定理.

そうしたらこれを(2)へ代入する.積分変数はxになり,積分範囲は0〜aになる.

ここでの被積分関数がオイラー方程式におけるfなのだけれど,よく見るとこの関数にはyの値が関与していない.xとy'さえ与えればいいらしい.

ということは,オイラー方程式における第二項が0であって,次のように変形できる.

xで微分して0なのだから,関数fをy'で偏微分した値は定数じゃないといけない.また実際に関数fをy'で偏微分してみると,次の結果が得られる.

つまり,y' = dy/dx, xの増加量とyの増加量の比は常に一定でなければならない.

で,まあ残りは解くというようなレベルでもない微分方程式を解くだけなのでぱぱっと.

というわけで,原点O(0, 0)と点P(a, b)を結ぶ最短の経路は,y = (b/a)x という一次方程式でした.デカルト平面で最短経路をたどりたかったらまっすぐ進めばいいわけですね!!

----

…しかしこれだけだとあまりに簡単すぎる上,わざわざ計算する有難みがない.なのでもう一問くらいは練習する.

posted by Rion778 at 21:01 | Comment(0) | TrackBack(0) | 勉強ノート | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス: [必須入力]

ホームページアドレス: [必須入力]

コメント: [必須入力]

認証コード: [必須入力]


※画像の中の文字を半角で入力してください。
この記事へのトラックバックURL(言及がない、関連がないと判断した場合削除することがあります)
http://blog.seesaa.jp/tb/113952042
※言及リンクのないトラックバックは受信されません。

この記事へのトラックバック
×

この広告は1年以上新しい記事の投稿がないブログに表示されております。