2009年03月16日

順序構造[位相のこころ p.28〜]

有理数全体: Q
空間Eの部分集合全体: P(E)

順序構造を考える対象

(O1) x ≦ x

(O2) x ≦ y, y ≦ z なら x ≦ z

というような「公理」が成立するもの。Qでいうところの大小関係、 P(E)でいうところの包含関係(≦の代わりに⊆を使うアレ)など。

・「公理」を満たす極端な例

x ≦ y なら x = y …  自分以外と比較できない。比較ができるってことは、そいつが自分っていうこと。 離散順序とでも呼ぼう。

任意のx, yで x ≦ y … どいつとでも比較していいけど、 どっちがでかい(あるいは同じ)ことにしてもいい混沌順序とでも呼ぼう。

こういう変なのは避けたい…

(O1)、(O2)だけでは不十分(擬順序という)。「順序」 というときは次を加える。

(O3) x ≦ y, y ≦ x なら x = y

比較のときにxとyを入れ替えてもいいなら、そいつは「同じ」なんだ、という縛りを入れてやる。 別のもの同士を比較するときは入れ替えちゃだめというわけで、混沌順序を避けられる。

また、昔はこれも加えていた

(TO) 任意の x, y は x ≦ y または y ≦ x

けどこれはなくてもいい。 あるとQは大丈夫だけどP(E)とかが順序の仲間に入れない (二つの有理数はいつでも大小関係を定義できるけど、集合XとYはいつも包含関係にあるとは限らない)。 これを満たすものは全順序と呼んでもうちょっとイイモノだとしておく。

次に離散順序を避けるには…

(DO) 任意の x, y について u ≦ x, y ≦v となる u, v が存在する。

集合から適当に2つの元をとってきたとき、 その両方より小さいuとその両方より大きいvが存在するということ。 xとyが別物だったとき、 その両方と比較できるu, vが存在するということだから、 離散順序みたいに比較できる集まりがポツポツと飛んでいるものは避けられるという仕組み(と思う)。

これは有向順序という。Qみたいな全順序はもちろん有向順序。 P(E)もその元Xについてφ⊆X⊆E(少なくとも空集合は含むし、空間には含まれる) なのでやっぱり有向順序。

ついでにもうちょっと厳しくする。

(LO) 任意の x, y について

a ≦ x, y ≦ b

u ≦ x, y ≦ v なら u ≦ a ≦ b ≦ v

となる a, b が存在する。

a, b は次のように書く。

a = x ∩ y

b = x ∪ y

具体的に言うと、

aはxとyの両方より小さい、または両方に含まれる、 といったようなもののなかで一番デカイやつ

bはxとyの両方より大きい、または両方を含む、 といったようなもののなかで一番ちっこいやつ

aは下から押さえる感じ(だから、「デカイやつ」とか言っても実態は普通小さい。小さい中で一番デカイ)。bは上から押さえる感じ (同じく「ちっこい」といっても実態はでかい)。こういうものを束順序という (ちなみにこの束(laticce)はファイバー束とかの「束(bundle)」とは違う。違う概念に同じ名前。ややこしい!)。

ただの言い直しだけど、

Qの中の話だったらaはxとyのうちで小さいほう、bは大きいほうのこと。

P(E)の中の話だったらaは集合XとYの共通集合(共通部分)、bは合併集合(和集合)。

…というように、「順序」 と一言に言っても向きもへったくれもないものや自分と違うものとは比較を拒むようなものからいろんな段階のものが考えられるんだけど、 適当にx, yと2個持ってきたときに、 それらをまとめて押さえられる何かを定義できるようにしておくと便利ですよと、そんな話(だろうと思う) 。それらをまとめて押さえられる何かを定義するのは次のパートですね。

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位相とか集合とか一度ちゃんとやらないと、とか張り切って読み始めた。

1時間で3ページしか進んでないとかどういうことなの…。

a ≦ x, y ≦ b とか書いてあるときに「a ≦ x」, 「y ≦ b」と勘違いしてて30分くらいロス。 xとyまとめてるだけなのに。x ≦ y, y ≦ zと定規でもって比べたら、a ≦ x, y ≦ bの方はカンマの後のスペースが0.5ミリくらい短かったよ!

本の最初のほうはその人の記号の使い方とか説明の仕方とかに慣れてないからどうでもいいとこで躓いてしまう。 この辺の話だって他の本で見たはずの内容だけどあらためて丁寧に追ってみると今みたいなつまらない躓きが…。 まあでも慣れたからペース上がるはず。きっと。おそらく。多分…。

ところで(TO)とか(LO)とかいう書き方は何なんだろう。人名とかの略かな?

教科書

posted by Rion778 at 02:29 | TrackBack(0) | 勉強ノート | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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