2009年03月18日

上限と下限[位相のこころ p.31〜]

A⊆Qについて,

  1. すべてのx∈Aにたいしてx≦a
  2. すべてのx∈Aにたいしてx≦u ならばa≦u

というようなaは,uをxにいくらでも近づけることができるために,x≦aというようなaの中で最小のもの, Aのすべてを抑えるぎりぎりのものとなる.このとき,これを∪Aと書く.上からギュッと押えるイメージ.これをAの上限と呼ぶ.

先の1.,2.において不等号を逆にしたもの,つまりAを下から押えるぎりぎりのものを∩Aと書き,Aの下限と呼ぶ.

特にQの場合は上限をsupA, 下限をinfAなどとも書く.

上限,下限は必ずしも存在するとは限らない.上限・下限が存在しない例として次のようなものが挙げられる.

  • Q  …  有理数全体を「抑える」 ことはできない
  • ∪φ  …  抑える対象が存在しない
  • A={x∈Q|x2≦2}    …  √2は有理数の中に存在していない(Aの中と外の間には途切れ,gapが存在している)

また,P(E)の場合, AP(E)という部分集合の集まりについて∪Aは全てのX∈Aを含むもの, つまり合併集合となる. そして∩Aというのは全てのX∈Aに含まれるもの, つまり共通集合となる.また、 Eの部分集合をひとつも取らないΦP(E)については普通次のようにする.

  • Φ
  • Φ=E

これは最初の1.,2.に当てはめてみると,1.についてはそもそも判断すべきXが存在しないので自動的に満たされ、 2.についてはUというのが任意のU∈P(E)になるため、「任意のUに含まれるX=φ」 「任意のUを含むX=E」というようなことになる。ただ、なじめなかったら定義と思ってしまってもいいそうだ。

また,QP(E)について次の性質が挙げられる.

  • ∪{x|x<a} = a
  • ∪{x|x>a} = a

ただし,自然数の集合Nでは次のようになって成立しない.

  • ∪{x∈N|x<n+1} = n

関数 f:Λ → Q について, たとえば∪f(Λ),∩f(Λ)というようなものを表したいとき,次のような書き方が使われる.

一般のxnについては同様に次の記法が使われる.

(ちなみにLaTeXで∪のでかいやつを描くコマンドが\bigcupだと調べるのにちょっと苦労した. 考えたらわかりそうな気もしたけど.)

また,A⊆QについてAをQに埋め込む単射 i:A → Qではxとi(x)を同一視して次のような書き方がされる.

また,増大列(x0 ≦ x1 ≦ x2...)について,

は同値である.

なぜなら,b<a<cについて,n≧Nならb≦xn≦cとなるようなNがとれる.いま考えているのは増大列なので, xn≦cはすべてのnで成立する.そこでcの下限を考えると, xn≦aとなる.

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まだ大丈夫だけどこれは他の本(高木貞二の解析概論とか.ほんの1mmくらいかじっただけだけど.)で見たからだな. どうもやっぱある程度高等な予備知識を要求されている気がする.

このままだとすぐ付いていけなくなりそうなのでなんか別にもう一冊くらい探さないと.などと思って集合・ 位相入門 を頼んだ.ちょっと頑張ろう。

教科書

posted by Rion778 at 18:46 | TrackBack(0) | 勉強ノート | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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