2009年03月14日

メンデルvsフィッシャー?

(※2016/8追記)Fisherより指摘されたデータのバイアスは確認されなかったということで決着が付いています(cf. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gregor_Mendel#Controversy However, reproduction of the experiments has demonstrated that there is no real bias towards Mendel's data.以下を参照)。

メンデルの法則といえば高校生物でおなじみの優勢・分離・独立の3つの法則のことだが、これの元になった実験については 「データがあまりに都合のいい数値である」という批判があることは有名だ。

要するに、メンデルの法則が正しいかどうかはさておいて、メンデルの実験には捏造疑惑があるのだ(もちろん、 メンデルの法則がいくつかの例外を除いて、 あるいは例外についても適当な説明方法によって正しいということが主張できるのは周知のとおりだが)。

しかし、日本植物整理学会の「みんなのひろば」という一般の人からの質問に答えるコーナーの質問と回答をまとめた本、 「これでナットク! 植物の謎 」 という本で、次のような記述があった。

しかしメンデルにならって交雑の際に慎重に個体を選んだ三人の研究者が、それぞれ独自に出したデータも、メンデルと同様に 「きれい」なものだったので、フィッシャーの批判はあたらないとされています。

本当か?

ちなみに、Webページはこちら。 編集の都合だろうが書籍よりも記述がいくらか多い。

おそらく、「三人の研究者」というのはメンデルの法則を再発見したド・フリース、コレンス、 チェルマクの3人のことだろう。「工学のためのデータサイエンス入門」 にメンデル、コレンス、チェルマクのデータが載っているので引用する。

実験者  黄色個体  緑色個体
メンデル    6022     2001
コレンス    1394      453
チェルマク   3580      1190

ここでそれぞれのp値は0.9076, 0.6480, 0.9467である。

p値というのは、「理論が正しいとして、この比率よりも外れた比率が観測される確率」を意味する。つまり、 たとえばメンデルのデータから観測された0.9076という値は、「理論が正しい」ときに観測されたとしても問題のない範囲に存在している。

と、ぱっと見はそう思うだろう。

ただしこれを逆に考えると、「理論が正しいとして、この比率よりも『理論に適合する』 比率が観測される確率は1-pである」ということが言える。つまり、「理論」、3:1という比率、 これにメンデルの観測データはきわめて近い。そしてメンデルのデータよりもより「正確な」 データが得られる確率は1-0.9076=0.0924にすぎない。

コレンスはともかく、チェルマクのデータについてはメンデルよりも「正確」であり、 このデータが得られる確率は1-0.9467=0.0533、つまり5%程度である。

さらに悪いことに、メンデルが予想した「誤った理論」に「正確」なデータもメンデルは得てしまっている。 そこではある対立遺伝子についてF1個体の分離比をAA:Aa=201:399と報告していたのだが、 AAとAaの個体の識別方法に問題があった。メンデルは優勢形質が得られた個体からの種子10粒を育てて自家受精し、得られた種子にaa型 (劣勢)形質が見られれば親はAa型であり、全てAA型(優勢)ならば親はAA型であると判断を下した。 しかし確率的には(3/4)^10≒5%で親がAaにもかかわらず子が全てAAになってしまうという場合が生ずる。 よってメンデルの方法によって観測されるべきF1世代の遺伝子型の分離比は223:377でなければならないのである。

それに加えてなお悪いことに、メンデルは他にも数多くの形質について分離比を調査しているのである。そして、 フィッシャーの批判というのはこれらのデータ全てを総合して考察した結果にたいして向けられている。フィッシャーの計算するところによれば、 メンデルが報告した値よりも「正確な」データが得られる確率は、0.00005、 つまり10万回に5回という極めて小さな値となるというものだった(これについては「やさしい統計入門 」 から引用)。

以上から次のことが言える。

まず、メンデルのデータが当てはまりすぎているのは事実である。

つぎに、メンデルに続いた「三人の研究者」のデータが「当てはまりすぎている」かどうかというと、 これは微妙なところだ。ド・フリースのデータについては調べていないので分からないが、とりあえずチェルマクのデータはたしかに「きれい」 に当てはまっている。しかし、コレンスのデータはp=0.6480であり、これは実際の実験で「ありそうな」値だ。決して 「当てはまりすぎている」というものではない。

なので、続く研究者のデータも「きれい」なものだったからフィッシャーの批判はあてはまらない、 というようなことは言えない。

もちろん、植物が確率に従わないような何らかの制御機構を持っており、分離比が確率の示す以上に3: 1に近づくのだ、というような説は否定できない。ただ、「工学のためのデータサイエンス入門」には 「三人の研究者」 以外の研究データもいくつか載っており、 それらのp値だけを挙げると0.7408, 0.3779, 0.1742, 0.4488, 0.0950である。 理論に対して適当なずれを持っており、「きれい」というわけではない。

どうも私の調べた範囲ではフィッシャーに分があるように思えるがどうだろうか。

ちなみに、フィッシャーの意見は 「どのような結果が得られることが望ましいかを熟知している数名の研究補佐員によって、メンデルは欺かれていた可能性がある」というもので、 メンデルを直接に攻撃するものではなかったようだ。

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2009年03月03日

iPod touchからテスト

seesaaがiPod touchによく対応してるので投稿テスト。 改行はどんな扱いだろう。 ↑に空白の行。

pタグ

divタグ
pc用の設定が反映されるとしたらHTMLが有効なテキストで改行タグの挿入なしになるはず。
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2009年03月02日

イチゴ狩りへ

りあじゅうしてきたよ!

つ「っぽい写真」

受付にいた。

イチゴ狩りとか生まれて初めてだ。もうこんな機会はないかもなぁ。

今回は人間が多く移っていたのでFlickrに上げるほどのアレはない(あまり面白くない写真を数枚上げたけど)。 それになんか結構楽しかったので、今後語る機会はない。

ただ、デジカメのオートブラケット機能は常時ONにしておくべきだということはよく分かった。 8〜16GBのメディアが数千円で買える今、容量による制限はない。無駄に複数の露出で無駄に連写しておくと、「たまたまうまくいった」 写真が結構入る。一枚手ぶれしても他の数枚にブレなしの写真が記録される可能性は高い。 シャッタータイミングとかもあまり気を使う必要がない。買ったときからONにしとけばよかったと悔やまれる。

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2009年02月24日

デルタ関数の定義とグラフのプロット

ディラックのデルタ関数の基本的な定義と性質は前回見たけど、 数式としての定義は特にしていなかった。

定義の仕方はいろいろある。けども、大体以下のポイントを抑えたものが使われる(っぽい)。

  • -∞〜+∞の区間で積分すると1になる
  • x=0において無限大の値をとる

前回の(1)の定義によるとδ(x)はx=0以外の点で0にならないといけないんだけど、これはどうも無視されることがあるらしい。 というのも、デルタ関数を実際に使うにあたって重要なのは前回でいう性質の2つ目、式(4)のところで説明した「値を抜き出す」 ということであって、これが守られれば少々のことは無視してもおkということらしい。

とりあえず教科書に載ってるのを列挙する。過程とかあまり書いてないので説明は無理っぽ。 ただ少なくとも最初に書いた2つの点は抑えてる。

1個目。

20090224eq01

2個目。

20090224eq02

これは実質的に1個目と同じらしい。Imというのは複素数の虚部を取り出す演算子。iは虚数単位で√-1。

3個目。

20090224eq03

おなじみ正規分布の密度関数を平均=0のもとで分散を0に限りなく近づけた場合と同じ。 これはもともと確率の密度を与える式なんだから全区間積分すると1になるってのは分かりやすい。 分散が0になるとx=0の部分が無限大に近づくというのもイメージしやすい。個人的に一番「それっぽい」気がする。

4個目。

20090224eq04

これが最初に言った定義を「少々無視」する形式。sin axはaをでかくすると0付近でどんどん激しく振動するだけで収束はしない。 ただ、この形をデルタ関数としておくとフーリエ変換の際などに便利らしく、この定義が結構頻繁に使われるぽい。

教科書的には式(4)は三角級数からいくつかのステップを踏んで誘導する感じで紹介されてるけど、 そもそもその三角級数が出てきた経緯がちょっと分からなかったので完成したブツだけ。

この4つについて適当なaの値を与えてグラフをプロットし挙動を観察してみる。

まず式(1)。そんな無茶苦茶早く収束するっていうわけでもない感じ。

Delta1

 

式(2)。プロットすると式(1)と同じものだってことがよく分かる。ちなみにRで複素数の虚部を取り出す関数はIm()。 複素数のオブジェクトを作って虚部にだけ値を与えるにはcomplex(imaginary=1)などとする。 一応ここだけプロットに使った関数のソース。

Delta.2 <- function(a, x){
 a <- complex(imaginary=1/a)
 Im((pi*(x-a))^-1)
 }

Delta2

 

式(3)。収束が早いっぽい。

Delta3

 

そして式(4)。aの値を大きくするとブレがむしろ拡大していくのが分かる。

※「ブレが拡大」という部分ですが、軽い指摘を頂いたのでよくよく考えてみたら確かに微妙な表現だと思えてきました。 x=0の付近で値は激しく振動し、ピークは鋭くなっていくわけですが、周辺での振幅は拡大されるわけではありません。 試しにa=200とした場合のグラフを描いてみました(↓に追加してあります。 もっと大きくてもいいのですがこれ以上だと塗りつぶされてしまいます。)。周辺部の振幅で言えばこれは同じと言うべきでしょう。重要なのは 「収束はしないものの、激しく振動しつつx=0でのピークが高く鋭くなっていく」という点でしょう。ちなみに教科書↓の表現を要約しますと、 「sin axはa→∞としても0となるわけではない。しかしa→∞で激しく振動するため、『値を抜き出す』性質は成立する」。 (2009/02/24 追記)

 

Delta4

Delta5

で今日はおしまい。ええ、手抜きです。

…なんだけど、Rで数式書くのが案外面倒だった。なので数式の部分だけメモっておく。 使うときはプロットのmain=とかの後にそのまま突っ込むだけ。

#式(1)
 expression(lim(over(a, pi(x^2+a^2)), a %->% 0))
#式(2)
 expression(lim(paste(Im, over(1, pi(x-ia))), a %->% 0))
#式(3)
 expression(lim(paste(over(1, paste(a, sqrt(pi))),exp,
 bgroup("(", paste("-",over(x^2, a^2)), ")")), a %->% 0))
#式(4)
 expression(lim(over(paste(sin," ",ax), paste(pi,x)), a%->%infinity))
#ついでにプロット時の余白の設定
 par(mar=c(3,3,3,1), mgp=c(2,1,0))

試行錯誤しながら書いた部分があるので正しくないかもしれない。式(3)とかなんだかpaste()たくさん使ってるし。 expression()の使い方あまり把握しきれてない気がする。

やっぱ数式書くならLaTeXのが楽だ。いちいち書き方調べなくても勘で大体書けるし。 LaTeX使って式を挿入する方法を調べないといけない。 どうもPSfragとかいうのでポストスクリプトの中身を書き換えられるらしい。 それでいけるのかも。また今度。

教科書

posted by Rion778 at 02:34 | Comment(0) | TrackBack(0) | 勉強ノート | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
2009年02月23日

ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数(δ関数)の定義の仕方はいくつかあるらしいけど、たとえば次のように定義できる。

20090222eq01

基本的に0だけど、x=0の点を含む積分では1になる。積分範囲は0から任意の実数ε (0とほとんど同じくらい小さくても、無限大でもいい)だけ離れた範囲。x=0の点で無限大の値を持つ、 というような表現がされることもある。

本来積分を含めてしか性質が現れてこなくて、そういう意味で「超関数」とか呼ばれてる(多分)のだけれど、 無理やりグラフにするとたとえばこんな感じ 。

Delta

εはすっごい小さい数で、とりあえず形は正規分布になってる。正規分布において平均=0、 分散→0の極限をデルタ関数として定義することもできるらしい。

まあとにかく、デルタ関数は普通0を中心に対称な、偶関数として定義される。よって、 偶関数として定義されたなら、という条件付で

20090222eq02

とりあえずここまで定義。以下特徴の説明。デルタ関数が導入されるときによく説明される「性質」をいくつか。

それで、今の図において−ε〜εの範囲で線の下の面積が1なんだから、−ε〜0、 0〜εの範囲に含まれる面積は1/2じゃないといけないだろう。よって、定義から導かれる性質の1つ目。

20090222eq03

これ以上特に説明も不要だろうから次へ。

性質の2つ目。

20090222eq04

任意の関数f(x)とδ(x-a)(この場合デルタ関数はx=aにおいて値を持つ)の積を積分する(区間はx=aを含む)と、 x=aにおけるf(x)の値が得られる、ということを言っている。 これは次のように説明できるだろうと思う(表現として正確じゃないかも)。

20090222eq05

積分範囲をx=aから±εの範囲とする。εは任意の数なので、非常に狭い区間を考えるとf(x)→f(a)。 右辺δ(0)×dxという部分は、リーマン和の一切れだとイメージしてほしい。 縦×横で面積が出てくるということを言っている。縦がδ(0)、横がdx。それで、デルタ関数の下の部分の面積というのは1だったから、 結局f(a)が残る。

次、性質の3つ目。

20090222eq06

「中」をa倍するのは、「外」から1/|a|倍したのと同じこと、ということを言っている。 これは次のように証明する。

まず、δ(y)というものを考えると、定義より∫δ(y) dy = 1。ここで積分変数をyからaxへ変更する。置換積分だ。

dy/dx = aなのでdy=a×dx。よって次式が得られる。

20090222eq07

2段目の=の後は変換ではなくて単に等しいということを言っているだけ。定義から積分の結果はどっちも1になるので。それで、 式(7)の後半2つを使うと次が得られる。

20090222eq08

一段目は式(7)をaで割っただけ。2段目は両辺をdxで微分している。積分して微分したら元に戻るので単純に積分記号をはずすだけ。

しかしaを-aとおいて式(8)まで誘導すると1/aが-1/aとなってしまう。

ここで最初の定義(2)を思い出すと、偶関数なのでδ(ax) = δ(-ax)。よって、aを-aとして計算した場合では、 式(7)の時点で得られる -a∫δ(-ax)dx積分の中身が必ず正となるため、 a < 0である必要性が生じる。逆に言えば、 a < 0であるとき、 式(7)の時点でaの前に-をつけなければならない

よって-aからはじめて式(8)の時点で得られる-1/aという値は非負でなければならない

なので式(6)のように絶対値記号のついた表現となっている。

次。性質その4。

20090222eq09

性質3の拡張なのだけれど、axをいきなりf(x)としているから分かりにくい。aiという定数が右辺に含まれるが、 これは関数f(x)の実根である。つまり、f(ai) = 0となるような値。

ちなみにf(x)は任意の関数というわけには行かない。右辺でゼロ割りが生ずる危険性があるので、 f(x)はf'(a)≠0という制限がつく。これは結構厳しい制限だ。 x軸と平行に交わる関数はすべてだめなのだから。たとえばx^2という単純な関数を考えるとその根は0、 導関数は2xなので、f'(a) = f'(0) = 2*0 = 0となってしまうために式(9)は適用できない。

さて、式(9)は根が複数あるような関数を想定しているが、とりあえずひとつからはじめよう。

20090222eq10_13

まず式(10)は部分積分。yをf(x)とおいて積分変数をxへ変更している。

次、この積分が非0となるのはデルタ関数の中身が0となる点を含む区間においてのみであるから、 f(x)が0となるようなx、 つまり実根aから±εに積分範囲を限る。この操作を表しているのが式(11)。

εは任意の実数なのでいくらでも小さくとることができる。εを十分小さくとったとき、 f'(a±ε)をf'(a)という定数で近似できる。 定数は積分記号の外へ括りだせる、 ということを言っているのが式(12)。

式(13)は式(7)のときと同じで変換ではなく、単に等しいということを言っている。式(11)で積分範囲をa±εに限ったので、 xがそのような区間しか動けなかったとしてもちゃんと値が1になるようにしなければならない。 そのためにδ(x)ではなくδ(x-a)としている。式(13)の積分範囲はa±εより広ければ無限大でもいい。 ちょっとずれてるだけで基本のデルタ関数だ。

それで、式(12)と式(13)から次が得られる。

20090222eq14

そして、実根が複数ある場合を考えると、 どの実根を含む範囲においても式(14)が成立する必要がある。 これを表現するにはすべての場合を単純に足し合わせればよく、したがって次式が得られる。

20090222eq15

そして、式(6)で絶対値記号をつけたのと同様の議論をすることにより、やはり絶対値記号つきの式(9)が得られる。

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教科書なんか見てると四つ目の性質、もしくはそれに類似する「性質」や「特徴」の説明って結構証明なしに与えられることが多い。 もしくは証明することが課題になってたりして。しかしΣと絶対値記号が突然出てくるのは結構ビビる。混乱する。

そんなのちょっと考えればすぐに解決できる程度のレベルの人間を想定してるのか、 あるいはいい先生に教えてもらうのが普通なのかは分からない。

でも式(9)の形の変換ってグリーン関数とか使う場合に出てくる気がする (伝熱関係の論文で見たことある気がするだけで使ったことはないんだけど)ので、ちゃんと把握している必要がある事項だと思う。

ここに躓いたのいつだっけか。確か半年くらい前。そのときは何が道具として必要なのかの見当がつけられずにあきらめたけど、 結局は置換積分と「εをすっごい小さくする!」という微積分によくある操作だった。

やっぱ基礎だな。基礎を徹底的に固めないといけない。誰か固めるべき基礎をリストアップしてくれ。

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参考文献

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2009年02月20日

ニラおじや

なんか風邪引いたんで作った。

http://movapic.com/nozma/pic/130840

味付けとしてはだしの素としょう油だけ。

ご飯を水でよく煮て、刻んだニラを加えて、さらによく煮て、卵入れて完成。

風邪引いたときには必ず出てきたけどニラが常備されていた覚えはない不思議。

作り方というほどの作り方もないけど、一応ばーちゃんに問い合わせて確認したので忘れないようメモ。

確か家ではニラのクロロフィルが変性して若干色が変わるくらいまで煮ていた気がする。味は時々薄かったし、 ニラの量もまちまちだったので分量らしい分量はないはず。だしの素としょう油だけなので薄かったらしょう油かけたら大丈夫。

とりあえず100円で買ってきたニラの束が1/3も減ってないのでしばらくニラおじや食う。

posted by Rion778 at 01:09 | Comment(0) | TrackBack(0) | レシピ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
2009年02月18日

最小作用の原理〜ニュートンの運動方程式

力学系は次の積分を最小にするように運動する。

20090218eq01

というのが最小作用の原理。もしくはハミルトンの原理。積分Sは作用と呼ばれる。Lは一般化座標q, その導関数q'(一般化速度) , 時間tからなる系を特徴付ける関数で、ラグランジアンという。(「特徴付ける」って何なのさ。という感じだけど、とりあえずここは 「ラグランジアンとして具体的な形を考えなくてもしばらく計算が進められる」 ということを強調するためにこんな微妙な言い方をしているだけなので、細かいことは考えず先へまいりましょう。)

一般化座標というのは系において位置を決めるのに必要な任意の個数の量の組で、たとえば平面上で垂直方向へy、 水平方向へxと座標を設定すれば、一般化座標の一例は(x, y)となる。「一例」 といったのはたとえば水平面からの仰角θと直線距離rを用いて(θ, r)としても位置は一意に決定できるからだ。 ちなみに位置を一意に決定するのに必要な量の個数をその系の自由度と呼ぶ。

さて、積分Sが最小となるということの意味を数式で表してみよう。変分記号δを使えば、それは次のようになる。

20090218eq02

ここから前に変分法を説明したときと同様の手順を踏んでオイラー方程式を得る。

20090218eq03

このオイラー方程式はラグランジュ方程式と呼ばれる。

次にラグランジアンの具体的な形を示す。重力のある質点系においてラグランジアンは次の形で定義される。

20090218eq04

Tは運動ポテンシャル。Uは位置ポテンシャルを表す。

いきなり出てきた感があるけど、これは相互作用のない系におけるラグランジアンに、相互作用(質点ともうひとつの質点、 地球との相互作用である)によって決まる座標の関数Uを足し合わせることによって得られている。

運動ポテンシャルは力(F = ma = m dv/dt)を位置について積分することで得られる。 物理の教科書とかによく載っているので多少飛ばし気味で(ただしランダウ=リフシッツ「力学・場の理論」では以下と異なり、 先に述べたように「相互作用のない系におけるラグランジアン」として運動ポテンシャルを導いており、議論は最小作用の原理だけを用いて進む。 が、ちょっとまだ理解しきれてない部分があるのでそれはパス。気になる人は「力学・場の理論」でどうぞ!)。

20090218eq05

一列目から二列目の変換は置換積分であることに注意。 ここで積分変数がqからvへ変わっている。

位置ポテンシャルも同じノリで重力(F = mg)を高さhについて積分することで得られる。

20090218eq06

こっちは置換積分とかしない。

式(5)、(6)から重力のある質点系での具体的なラグランジアンの形を求めれば次の形になる。

20090218eq07

これをラグランジュ方程式(3)へ代入すると、次の式が得られる。

20090218eq08

ところでここで左辺第一項はma(aは加速度)である。第二項、計算前の形で∂U/∂qであるこれは力である。

そう、要するにこれはma = Fというニュートンの運動方程式に他ならない (別にニュートンの運動方程式を求めるだけならUとして具体的に位置エネルギーというものを挙げず、 座標と相互作用により決まるポテンシャルエネルギーとしておけばよかったんだけど抽象的すぎて分かりにくいので)。

たとえばここで垂直方向へy、水平方向へxとして座標を設定し、式(8)へ座標の情報を取り込むと次の式が得られる(空気抵抗は無視) 。

20090218eq0910

これはよくある(と思う)空気抵抗を無視した状態で物体を投射したときの運動を求める問題。まあ放物線が出てくるわけですが、 結構面倒なんで今日は解かずにここで終わり。

とりあえず、最小作用の原理からニュートンの運動方程式が出てくる、というお話でした。

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参考文献

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2009年02月13日

置換積分

関数 f(x) において x=x(t) などとおき、tに関する積分に変形することで積分計算が単純化される場合がある。

この、変数変換ののちにtに関して積分する、という作業を置換積分と呼ぶ。

まず、tという新しい変数がいかにして導入されるかを確認するため置換積分の公式を誘導する。

F(x)をf(x)の原始関数とする。

20090212eq01

このとき、xを別の変数tの関数とみなし、x=x(t)とする。

20090212eq02

こうして導入された新変数tにて式の両辺を微分する。合成関数の微分なので、「外側の微分×内側の微分」となる。

20090212eq03

右辺は積分の微分であり、したがって結果は次のようになる。

20090212eq04

この両辺を先ほどとは逆に新変数tにて積分する。これにより左辺は微分の形から原始関数へ戻る。

20090212eq05

ここで得られた右辺が置換積分という作業となる。被積分関数中のxをtの関数x(t)に変形し、 積分変数をxよりtに変換するためには、被積分関数に関数x(t)をtで微分したものを掛け合わせればよい、ということを示している。

この説明だけだと具体的な計算手順をイメージすることが困難な場合がある(昨晩深夜の僕とか)ので、具体例で確認する。

まず、例として被積分関数f(x)を次のものとする。

20090212eq06

ここで、たとえば次のようにおいてtを積分する形としたら計算が簡単になりそうだ。

20090212eq07

ただ、これだとx(t)というかt(x)だし、f(x(t))というよりf(t(x))のような気がする。 式(5)の使い方がどうもイメージしにくい。

しかし、実際には式(7)を代入するわけではない。tはまだ被積分関数の中にないのだから、代入はxに対して行われなければならない。 当然だ。

つまり、代入されるのは式(7)の逆関数である次の式となる。

20090212eq08

これを式(6)へ代入すれば、(2x+1)がtに置き換わる。式(8)、 つまりx(t)を代入するのだからf(x)がf(x(t))となることにもはや疑問はない。

再び式(5)に戻る。

20090212eq05

あとはdx/dtを求めればいいだけ。式(8)の両辺をdtで微分する。

 20090212eq09

そしてx→x(t)への変換とともにこれを式(5)へ代入し、あとは計算して答えを得る。最後にtをxに戻すのを忘れずに(※ 積分定数は省略)。

20090212eq10

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それで、とりあえずこれで正解は正解なんだけど、実際にはt(x)の逆関数のx(t)をわざわざ求めて、 それを微分したものを代入して…などという手順は踏まないし、そんな回りくどい説明はしない(だからわからなかった!)。

まず、次の式は自明だろう。言い方が正しくないかもしれないが、左辺でdtを約分したらdxになるっぽいのは間違いないだろう。

20090212eq11

この式の左辺はdxに等しい上、これで積分したら積分変数はtである。要するにこの式の左辺を求め、与式のdxへ代入したら、 もうxをx(t)にしてしまってかまわないということ。

実際に何をするのかを先の例を使って説明する。まず置換は式(7)と同じく次のようにしたいものとする。

20090212eq12

ここで両辺をxにて微分する。

20090212eq13

dxについて解く。

20090212eq14

これが要するに式(11)。なので、式(12)の変換をしたあと、式(14)を与式へ代入したらあら不思議、 もう積分変数はtになっていると、そういうわけです。

あとの計算は一緒。もちろん答えも一緒。なので省略。

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ところで、置換積分にあたって何を仮定しないとだめなのか。

なんか逆関数とか面倒なこと言ってたから、x(t)は単調じゃないとだめなんじゃないかなとかそんな風な気もする。

けど別にそういう仮定でなくともいいらしい。

最後に仮定を持ってくるのもどうかと思うけど、「解析概論」から丸写しすると置換積分の公式を得るに当たっての仮定は次の二つ。

  1. 積分区間 a ≦ x ≦ b を含む区間 c ≦ x ≦ d においてf(x)は連続。
  2. x(t)およびx'(t)は[α, β]で連続で、tがαからβまで変動するとき c ≦ x(t) ≦ d, かつ x(α) = a, x(β) = b。

多少ハミ出ても連続で着地点が一緒ならいいと、そういうことですね。

…多分。

参考

posted by Rion778 at 00:38 | Comment(0) | TrackBack(0) | 勉強ノート | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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